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% 水平井段套管的激振问题
syms gMaterial gNode L gElement gEigValue gEigvalue
% No.1
%基本数据的输入
fprintf( '采用Euler-Bernoulli Beam 进行求解、节点自由度为2\n' )
L=input( '系统长度(m): ' );
Nel=input( '微元体数量：' );
E=input ( '输入材料的弹性模量(10^11pa): ' );
N=input( '输入管内流体的压力（Mpa）： ' );
Q=input('输入排量(m^3/min)：');
B=input( '输入钻头的外径(m)： ');
D=input( '输入套管的外径(m)： ' );
d=input( '输入套管的内径(m): ' );
ef=input( '输入水泥浆的密度（kg/m^3): ' );
ep=input( '输入套管的密度 (kg/m^3)： ' );
gTimeEnd=input('输入时间长度（s）：');
gDeltaT=input('输入时间步长（s）：');
Force=input('输入外载大小（N）: '); % 强迫振动时需要算固有振动频率
w=input('输入激振频率（Hz）: ');
Distance_For=input('输入外载作用的位置(m)： ');
Q=Q/60; % 单位换算
N=10^6 * N; % 单位压强换算
c=10^(-3)*c; % mpa.s 和 pa.s 的单位换算
I=(D^4-d^4)/64; % 转动惯量的求解
A1=pi*(B^2)/4; % 井眼横截面积
A2=pi*(D^2)/4; % 套管外面积
A3=pi*(d^2)/4; % 过流面积
Uo=Q/(A1-A2); % 环空外返速
Ui=Q/A3; % 环空内流速
E=E*10^11;
timestep=gTimeEnd/gDeltaT;
cm=( D^2+d^2)/( D^2-d^2); % 环空影响系数
ma=cm*ef*A2;
mf=ef*A3;
mp=ep*(A2-A3);
m=mf+mp+ma;
% No.2
%微元体节点进行编号
Nnode=Nel+1; % 节点总数
node=(1:Nnode); % 生成节点向量
x=0:(L/Nel):L; % 对节点进行坐标编号
xx=x'; % 节点x坐标向量
yy=zeros(Nnode,1); % 节点的node
%节点编号 节点x坐标 节点y坐标
gNode=[ node' xx yy]; %节点进行编号
%No.3微元体和节点的关系矩阵
%微元体编号 左端节点 右端节点
gElement=[ (1:Nel)', (1:Nel)', (2:Nnode)'];
%No.4 第一边界条件条件
%节点号 自由度号 边界值
gBco=[ 1, 1, 0
1, 2, 0
Nnode, 1, 0
Nnode, 2, 0];
% No.5 微元体的长度
xi=gNode(gElement(1,2),2);
xj=gNode(gElement(1,3),2);
yi=gNode(gElement(1,2),3);
yj=gNode(gElement(1,3),3);
p=sqrt((xi-xj)^2+(yi-yj)^2);
if mod(Distance_For, p)==0
For_Node=Distance_For/p;
For_Node=For_Node+1; % 这是作用于节点
% 外力向量编号
% 力作用的节点 自由度 力作用大小
gNF=[ For_Node, 1, Force*sin(w*t);
For_Node , 2, 0 ];
else
gNF=[ ceil(Distance/p), 1, (p-mod(Distance_For, p)/p)*Force*sin(w*t);
ceil(Distance/p) 2, 0;
ceil(Distance/p)+1 1, (mod(Distance,p)/p)*Force*sin(w*t);
ceil(Distance/p)+1 2, 0];
end
检查作用的自由度方向
% No.6 质量矩阵和刚度矩阵
% 计算微元体的质量矩阵
me=m/420*...
[156*p 22*p^2 54*p -13*p^2;...
22*p^2 4*p^3 13*p^2 -3*p^3;...
54*p 13*p^2 156*p -22*p^2;...
-13*p^2 -3*p^3 -22*p^2 4*p^3];
%套管的微元刚度矩阵
Kea=E*I/(p^3)*...
[12 6*p -12 6*p;...
6*p 4*p^2 -6*p 2*p^2; ...
-12 -6*p 12 -6*p;...
6*p 2*p^2 -6*p 4*p^2];
%由科氏力产生的微元刚度矩阵
Keb=(N*A1-mf*Ui^2)*...
[6/(5*p) 1/10 -6/(5*p) 1/10;...
1/10 2*p/15 -1/10 -1/30;...
-6/(5*p) -1/10 6/(5*p) -1/10;...
1/10 -1/30 -1/10 2*p/15];
%微元的总体刚度矩阵
ke=Kea+Keb;
% No7. 质量矩阵和刚度矩阵进行组装
gK=zeros(Nnode*2);
gM=zeros(Nnode*2);
%按照微元体进行装配
for ie=1:Nel % Nel 表示有多少个微元
for i=1:2
for j=1:2
for p=1:2
for q=1:2
m=(i-1)*2+p;
n=(j-1)*2+q;
M=(gElement(ie,i)-1)*2+m;
N=(gElement(ie,j)-1)*2+n;
gK(M,N)=gK(M,N)+ke(m,n);
gM(M,N)=gM(M,N)+me(m,n);
end
end
end
end
end
% No.8 采用第一边界条件进行施加边界条件
[bc1_number,~]=size(gBco);
w2max = max( diag(gK)./diag(gM) );
for ibc=1:1:bc1_number
n = gBco(ibc, 1 ); %这里查找的是节点
d = gBco(ibc, 2 ); %查找约束施加的自由度
m = (n-1)*2 + d; %计算约束自由度在总刚矩阵中占用的自由度
gK(:,m) = zeros( Nnode*2, 1 ); %列化成0
gK(m,:) = zeros( 1, Nnode*2 ); %行化成0
gK(m,m) = 1;
end
for ibc=1:1:bc1_number
n = gBco(ibc, 1 );
d = gBco(ibc, 2 );
m = (n-1)*2 + d;
gM(:,m) = zeros( Nnode*2, 1 );
gM(m,:) = zeros( 1, Nnode*2 ) ;
gM(m,m) = gK(m,m)/w2max/1e10 ;
end
for i=1:Nnode*2
for j=i:Nnode*2
gK(j,i) = gK(i,j);
gM(j,i) = gM(i,j); % 进行对称化矩阵
end
end
% 计算特征值和特征想
[gEigVector, gEigValue] = eigs(gK, gM, 3, 'SM' ); %提取三阶特征值
for ibc=1:1:bc1_number
n = gBco(ibc, 1 );
d = gBco(ibc, 2 );
m = (n-1)*2 + d;
gEigVector(m,:) = gBco(ibc,3); %对振型进行边界化
end
fre_number=length(diag(gEigValue));
w1=sqrt(gEigValue(1,1))/2/pi;
w2=sqrt(gEigValue(2,2))/2/pi; % 提取前两阶固有振动频率
%No.9 水泥浆引起的微元的粘性阻尼矩阵
dRatio=0.008; % 结构阻尼比，钢材水泥选取0.008
% Rayleigh Damping % 粘性阻尼，采用比例阻尼方式
alpha=2*(w1*w2)*dRatio/(w1+w2); % w1、w2是管材的固有振动频率
beta= 2*dRatio/(w1+w2);
Ca=alpha*gM+beta*gK; % rayleigh 方法确定的结构阻尼矩阵
%科氏阻尼矩阵
cb=-(2*mf*Ui + ma*Uo)*...
[0 -p/10 -1/2 p/10;...
p/10 0 -p/10 p^2/60;...
1/2 p/10 0 -p/10;...
-p/10 -p^2/60 p/10 0];
% 对阻尼矩阵进行组装，从而能够的出整体的阻尼矩阵
Cb=zeros(Nnode*2);
for ie=1:Nel % Nel 表示有多少个微元
for i=1:2
for j=1:2
for p=1:2
for q=1:2
m=(i-1)*2+p;
n=(j-1)*2+q;
M=(gElement(ie,i)-1)*2+m;
N=(gElement(ie,j)-1)*2+n;
Cb(M,N)=Cb(M,N)+cb(m,n);
end
end
end
end
end
% 阻尼矩阵由rayleigh 方法得出：
% 总共的阻尼矩阵是：
gC=Cb+Ca;
% 打印特征向量(振型)
fprintf( '\n\n 表一 特征向量(振型) \n' );
for i=1:fre_number
fprintf( '----------------') ;
end
fprintf( '\n' ) ;
for i=1:fre_number
fprintf( ' %6d ', i ) ;
end
fprintf( '\n' ) ;
for i=1:fre_number
fprintf( '----------------') ;
end
fprintf( '\n' ) ;
[dof,~]=size(gEigVector) ;
for i=1:dof
for j=fre_number:-1:1
fprintf( '%15.7e ', gEigVector(j,j) ) ;
end
fprintf( '\n' ) ;
end
for i=1:fre_number
fprintf( '----------------') ;
end
fprintf( '\n' ) ;
% 打印特征值
fprintf( '\n\n\n\n 表二 特征值(频率)列表 \n' ) ;
fprintf( '----------------------------------------------------------\n') ;
fprintf( ' 阶数 特征值 固有振动频率(Hz) 圆频率(rad/s)\n') ;
fprintf( '----------------------------------------------------------\n') ;
for i=fre_number:-1:1
fprintf( '%6d %15.7e %15.7e %15.7e\n', fre_number-i+1, ...
gEigValue(i,i), sqrt(gEigValue(i,i))/2/pi, sqrt(gEigValue(j,j)) ) ;
end
fprintf( '----------------------------------------------------------\n') ;
% No.9 绘制振型图
for j=fre_number:-1:1
figure
x = gNode(:,2) ;
y = gNode(:,3) ;
dx = gEigVector(1:2:length(x)*2, j ) ;
dy = gEigVector(2:2:length(x)*2, j );
factor = max( [max(abs(x))/max(abs(dx)), max(abs(y))/max(abs(dy))] )* 0.05;
plot(x,y,'-', x+factor*dx, y+factor*dy,'r:');
hold on
title( sprintf( '第%d阶频率: %.3f Hz', fre_number-j+1, sqrt(gEigValue(j,j))/2/pi ) ) ;
grid on
end
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 计算振型图没有任何问题
% 计算振动响应问题
% 首先定义常数的值
% 该函数定义平面杆系的有限元模型数据：
% gNode -------- 节点定义
% gElement ----- 单元定义
% gMaterial ---- 材料定义，包括弹性模量，梁的截面积和梁的抗弯惯性矩
% gBC1 --------- 约束条件
% gDeltaT ------ 时间步长
% gTimeEnd ----- 计算结束时刻
% gDisp -------- 位移时程响应
% gVelo -------- 速度时程响应
% gAcce -------- 加速度时程响应
gDeltaT=input('输入时间单步长： ');
gTimeEnd=input('输入总的时间长度： ');
% 定义位移，速度和加速度
gDisp = zeros( Nnode*2, timestep ) ;
gVelo = zeros( Nnode*2, timestep ) ;
gAcce = zeros( Nnode*2, timestep ) ;
f=zeros(Nnode*2, timestep);
% 初始条件
gDisp(:,1) = zeros(Nnode*2, 1 ) ; %初始位移
gVelo(:,1) = zeros(Nnode*2, 1) ; %初始速度
% 定义初始力
[nf_number, ~] = size( gNF ) ;
for inf=1:1:nf_number
n = gNF( inf, 1 ) ; % 施加力的节点
d = gNF( inf, 2 ) ; % 这里是自由度的查找
m=(n-1)*2+ d;
f( m, 1) = gNF( inf, 3 ) ; % 强迫振动，每时都会出现力
end
% 这里需要重新定义没有施加边界条件的质量矩阵、刚度矩阵
hK=zeros(Nnode*2);
hM=zeros(Nnode*2);
for ie=1:Nel % Nel 表示有多少个微元
for i=1:2
for j=1:2
for p=1:2
for q=1:2
m=(i-1)*2+p;
n=(j-1)*2+q;
M=(gElement(ie,i)-1)*2+m;
N=(gElement(ie,j)-1)*2+n;
hK(M,N)=hK(M,N)+ke(m,n);
hM(M,N)=hM(M,N)+me(m,n);
end
end
end
end
end
%计算初始加速度
gAcce(:,1) =hM\(f(:,1)-hK*gDisp(:,1)-gC*gVelo(:,1));
%采用振动Newmark方法进行振动分析
gama = 0.5 ;
beta = 0.25 ; % 采用平均加速度方法 Newmark- beta 方法
alpha0 = 1/beta/gDeltaT^2;
alpha1 = gama/beta/gDeltaT;
alpha2 = 1/beta/gDeltaT;
alpha3 = 1/2/beta - 1;
alpha4 = gama/beta - 1;
alpha5 = gDeltaT/2*(gama/beta-2);
alpha6 = gDeltaT*(1-gama);
alpha7 = gama*gDeltaT;
K1 = hK + alpha0*hM + alpha1*gC; %计算有效刚度矩阵
%-------------------------------------------------------------------------
% 把集中力集成到整体节点力向量中
[bc1_number, ~]=size(gBco);
K1im = zeros(Nnode*2, bc1_number);
for ibc=1:1:bc1_number
n=gBco(ibc,1);
d=gBco(ibc,2);
m=(n-1)*2+d;
K1im(:,ibc)=K1(:,m); %这是将原始边界条件储存到Klim中去，方便后面对力进行施加边界条件
K1(:,m) = zeros( Nnode*2, 1 ); %将有效刚度矩阵进行赋值
K1(m,:) = zeros( 1, Nnode*2); % 化行、化列法对边界条件进行施加
K1(m,m) = 1.0; %施加边界条件
end
[KL,KU]=lu(K1);
%对每一个时间步计算、是按照时间步长进行计算
for i=2:1:timestep
if mod(i,100) == 0
fprintf( '当前时间步：%d\n', i ); % 显示整数步长，模为零的情况
end
% 对K1进行边界条件处理
[nf_number, ~] = size( gNF ) ;
for inf=1:1:nf_number
n = gNF( inf, 1 ) ; % 施加力的节点
d = gNF( inf, 2 ) ; % 这里是自由度的查找
m=(n-1)*2+ d;
f( m, i) = gNF( inf, 3 ) ; % 强迫振动，每时都会出现力
end
f1 =f(:,i)+hM*(alpha0*gDisp(:,i-1)+alpha2*gVelo(:,i-1)+alpha3*gAcce(:,i-1)) ...
+ gC*(alpha1*gDisp(:,i-1)+alpha4*gVelo(:,i-1)+alpha5*gAcce(:,i-1)) ;
% 对f1进行边界条件处理, 施加力的边界条件
[bc1_number,~] = size( gBco ) ;
for ibc=1:1:bc1_number
n = gBco(ibc, 1 ) ;
d = gBco(ibc, 2 ) ;
m = (n-1)*2 + d ;
%如果是力 那么需要对力进行施加边界条件
f1 = f1 - gBco(ibc,3) * K1im(:,ibc) ; % 这个是施加边界条件 采用化行化列法施加边界条件
f1(m)=gBco(ibc,3);
end
y=KL\f1;
gDisp(:,i) = KU\y ;
gAcce(:,i) = alpha0*(gDisp(:,i)-gDisp(:,i-1)) - alpha2*gVelo(:,i-1) - alpha3*gAcce(:,i-1) ;
gVelo(:,i) = gVelo(:,i-1) + alpha6*gAcce(:,i-1) + alpha7*gAcce(:,i) ;
end
% 绘制时程曲线
t = 0:gDeltaT:(gTimeEnd-gDeltaT);
d = gDisp((floor(Nnode/4)*2)+1,:);
subplot(2,1,1);
plot( t, d );
title( 'L/2处挠度时程曲线');
xlabel( '时间(s)');
ylabel( '挠度(cm)' );
grid on
% 对时程曲线进行FFT变换，获取频谱特性
fd = fft( d ) ;
df = 1/gTimeEnd ;
f = (0:length(d)-1)*df ;
subplot(2,1,2);
plot(f,abs(fd)) ;
set(gca,'xlim',[0,10]) ;
title( 'L/2处挠度的频谱图' ) ;
xlabel( '频率(Hz)') ;
ylabel( '幅值' ) ;
% 标注频率峰值
fifi1 = diff(abs(fd));
n = length(fifi1) ;
d1 = fifi1(1:n-1);
d2 = fifi1(2:n) ;
indmax = find( d1.*d2<0 & d1>0 )+1;
for i=1:length(indmax)
if f(indmax(i)) > 10
break;
end
text( f(indmax(i)+2), abs(fd(indmax(i)))*0.9, sprintf('f=%.3f',f(indmax(i))));
end
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
% 移动载荷下的激振问题
% 上面是固定载荷作用下的响应分析。
% 移动载荷下的响应分析应该是先判定载荷位置，在对力进行赋值，从而确定力的大小，再用Newmark方法进行计算。
% 根据形函数、将移动载荷分解到节点等效力。
% 对载荷位置进行初步判定
% 对载荷位置进行初步判定
timespace=gTimeEnd/gDeltaT;
t=volum/Q; % 预计移动载荷作用的时间
v=L/t; % 移动载荷运动的速度
Force_moving=input('输入移动载荷力的大小：');
gDeltaT=input('输入时间步长： '); % 步长设为0.01
f=zeros(gNode*2, timespace); % 定义力矩阵
gDisp=zeros(gNode*2, timespace); % 定义位移矩阵
gVelo=zeros(gNode*2, timespace); % 定义速度矩阵
for i=1:timespace % 每个时间步长计算
cosin=mod(i*v, p)/p;
N1=1-3*cosin^2+2*cosin^3;
N2=(cosin-2*cosin^2+cosin^3)*p;
N3=3*cosin^2-2*cosin^3;
N4=(-cosin^2+cosin^3)*p;
Hermite=[N1, N2, N3, N4]';
N_Moving=Force_moving*Hermite;
Mload_node=ceil(i*v/p);
Mload_Hermite=[Mload_node, 1 N_Moving11;...
Mload_node, 2 N_Moving21;...
Mload_node +1, 1 N_Moving31;...
Mload_node +1, 2 N_Moving41];
[number_Mload_node, ~]=size(Mload_Hermite);
for v =1: number_Mload_node
n=Mload_Hermite(v,1); % 运动到的节点
d=Mload_Hermite(v,2); % 运动到的自由度
m=(n-1)*2 +d; % 在总的坐标轴中占据自由度
f(m,i)=Mload_Hermite(m, 3);
end
end
%采用振动Newmark方法进行振动分析
gama = 0.5 ;
beta = 0.25 ; % 采用平均加速度方法 Newmark- beta 方法，平均加速度法
[~,N]=size(hK);
alpha0 = 1/beta/gDeltaT^2;
alpha1 = gama/beta/gDeltaT;
alpha2 = 1/beta/gDeltaT;
alpha3 = 1/2/beta - 1;
alpha4 = gama/beta - 1;
alpha5 = gDeltaT/2*(gama/beta-2);
alpha6 = gDeltaT*(1-gama);
alpha7 = gama*gDeltaT;
K1 = hK + alpha0*hM + alpha1*gC; %计算有效刚度矩阵
% 对K1进行边界条件处理
[bc1_number,dummy] = size(gBco) ;
K1im = zeros(Nnode, bc1_number);
for ibc=1:1:bc1_number
n=gBco(ibc,1);
d=gBco(ibc,2);
m=(n-1)*2+d;
K1im(:, ibc)=K1(:, m); %这是将原始边界条件储存到Klim中去，方便后面对力进行施加边界条件
K1(:,m) = zeros( Nnode*2, 1 ); %将有效刚度矩阵进行赋值
K1(m,:) = zeros( 1, Nnode*2); % 化行、化列法对边界条件进行施加
K1(m,m) = 1.0; %施加边界条件
end
[KL,KU] = lu(K1); % 进行LU分解，节省后面的求解时间
%计算初始加速度
gAcce(:,1) =hM\(f(:,1)-hK*gDisp(:,1)-gC*gVelo(:,1)); % 初始加速度一般都设为零的
%对每一个时间步计算
for i=2:1:timestep
if mod(i,100) == 0
fprintf( '当前时间步：%d\n', i ); % 显示整数步长，模为零的情况
end
f1 =f(:,i)+hM*(alpha0*gDisp(:,i-1)+alpha2*gVelo(:,i-1)+alpha3*gAcce(:,i-1)) ...
+ gC*(alpha1*gDisp(:,i-1)+alpha4*gVelo(:,i-1)+alpha5*gAcce(:,i-1)) ;
% 对f1进行边界条件处理, 施加力的边界条件
[bc1_number,dummy] = size( gBco ) ;
for ibc=1:1:bc1_number
n = gBco(ibc, 1 ) ;
d = gBco(ibc, 2 ) ;
m = (n-1)*2 + d ;
%如果是力 那么需要对力进行施加边界条件
f1 = f1 - gBco(ibc,3) * K1im(:,ibc) ; % 这个是施加边界条件 采用化行化列法施加边界条件
end
y = KL\f1 ;
gDisp(:,i) = KU\y ;
gAcce(:,i) = alpha0*(gDisp(:,i)-gDisp(:,i-1)) - alpha2*gVelo(:,i-1) - alpha3*gAcce(:,i-1) ; % 下一个时段的加速度
gVelo(:,i) = gVelo(:,i-1) + alpha6*gAcce(:,i-1) + alpha7*gAcce(:,i) ;
end
% 绘制时程曲线
t = 0:gDeltaT:(gTimeEnd-gDeltaT);
d = gDisp((floor(Nnode/2)*2)+1,:);
subplot(2,1,1);
plot( t, d );
title( 'L/4处挠度时程曲线');
xlabel( '时间(s)');
ylabel( '挠度(cm)' );
grid on
% 对时程曲线进行FFT变换，获取频谱特性
fd = fft( d ) ;
df = 1/gTimeEnd ;
f = (0:length(d)-1)*df ;
subplot(2,1,2);
plot(f,abs(fd)) ;
set(gca,'xlim',[0,10]) ;
title( 'L/4处挠度的频谱图' ) ;
xlabel( '频率(Hz)') ;
ylabel( '幅值' ) ;
% 标注频率峰值
fifi1 = diff(abs(fd));
n = length(fifi1) ;
d1 = fifi1(1:n-1);
d2 = fifi1(2:n) ;
indmax = find( d1.*d2<0 & d1>0 )+1;
for i=1:length(indmax)
if f(indmax(i)) > 10
break;
end
text( f(indmax(i)+2), abs(fd(indmax(i)))*0.9, sprintf('f=%.3f',f(indmax(i))));
end