"Численные исследования способов приближения функции методом наименьших квадратов при увеличении степени многочлена"
- Составить и отладить программу приближенного нахождения значения функции с использованием полинома рассчитанного методом наименьших квадратов. Запрограммировать вычисление аппроксимирующего многочлена в произвольной точке x * отрезка [a, b] следующими тремя способами:
- непрерывным способом;
- дискретным способом;
- полудискретным способом (с использованием квадратурных формул приближенного вычисления – формулы трапеций и формулы Симпсона).
- Построить графики и сравнить с графиком функции и между собой, сделать выводы, написать отчет.
UPD: Решение на Matlab UPD: Старое решение на Matlab
Теория к лаб.раб. №3 Гудович Н.Н. Элементы численных методов. Вып 3. МНК
Задание: (метод наименьших квадратов, МНК)
В папке несколько функциональных блоков. Расчет коэффициентов аппроксимирующего полинома реализован в блоках:
- coefMNKSolid.m - модуль, реализующий вычисление коэффициентов непрерывным способом;
- coefMNKDiscrete.m - модуль, реализующий вычисление коэффициентов дискретным способом;
- coefMNKQuasiDiscrete.m - модуль, реализующий вычисление коэффициентов полудискретным способом.
Для вычисления значений функции F(x) для узла x использовался реализованный ранее в первых двух лабораторных работах модуль f.m. Кроме того, поскольку в модулях непрерывного и полудискретного способов используются символьные вычисления, в отдельный модуль f_sym.m была вынесена функция, возвращающая своим результатом символьное представление исходной функции f. Модуль coefMNKSolid получает на вход в качестве параметров концы отрезка [a, b] и степень аппроксимирующего полинома n, возвращая массив коэффициентов полинома c i . Внутри модуля задействованы символьные вычисления, которые осуществляют символьное интегрирование и дифференцирование с последующим решением системы алгебраических уравнений. Модули coefMNKDiscrete и coefMNKQuasiDiscrete получают на вход в качестве параметров массивы координат узлов, например, следующего вида:
- X = [1; 2; 3],
- Y = [-2; 1; 6],
а также степень аппроксимирующего полинома n, возвращая массив коэффициентов полинома c i . Кроме того, дополнительным параметром coefMNKQuasiDiscrete принимает typeQuadra – номер квадратурной формулы, применяемой для приближенного вычисления интегралов в правой части уравнений (1 – формула трапеций, 2 – формула Симпсона).
Вызов модулей осуществляется командами:
coefMNKSolid(a, b, n)
coefMNKDiscrete(X, Y, n)
coefMNKQuasiDiscrete(X, Y, n, typeQuadra)В свою очередь, чтобы однозначно определить интерфейс, обеспечивающий доступ ко всем трем модулям, реализован промежуточный объединяющий модуль coefMNKBase.m с командой для его вызова следующего вида:
coefMNKBase(a, b, n, N, typeMNK, typeQuadra)где передаваемые параметры a, b, n – соответственно границы отрезка [a, b] и степень интерполяционного полинома, а typeMNK – номер способа, которым рассчитываются коэффициенты аппроксимирующего полинома (1 - непрерывный, 2 - дискретный, 3 - полудискретный), typeQuadra – номер квадратурной формулы, применяемой для приближенного вычисления интегралов в правой части уравнений (1 – формула трапеций, 2 – формула Симпсона). Часть параметров опциональна и задействуется только в определенном методе.
Модуль возвращает матрицу коэффициентов С, чтобы затем на ее основе можно было рассчитать значение аппроксимирующего полинома в любой точке.
Модуль pointMNK.m получает в качестве передаваемых параметров матрицу коэффициентов C и значение x, для которого надо посчитать P(x):
Px = pointMNK(C, x)Построение графиков выполняют следующие модули:
- plotMNK.m – выводит одиночный график полинома, совмещенный с графиком функции и узловыми точками;
- plotMNKFull.m – выводит совмещенные графики полиномов, коэффициенты которых посчитаны всеми тремя способами (для сравнения);
- plotDeltaMNK.m – выводит совмещенные графики зависимости средней абсолютной ошибки аппроксимации от степени аппроксимирующего полинома n (для всех трех способов для сравнения);
- plotDelta2MNK.m – выводит совмещенные графики зависимости средней абсолютной ошибки аппроксимации от количества узловых точек N (для всех трех способов для сравнения);
- plot3DeltaMNK.m – выводит 3D графики зависимость точности аппроксимации МНК от n и N;
- deltaMNK.m – впомогательный модуль для расчета средней абсолютной ошибки аппроксимации.
Вызываются эти модули следующим образом:
plotMNK(a, b, n, N, typeMNK, typeQuadra)
plotMNKFull(a, b, n, N, typeQuadra)
plotDeltaMNK(a, b, N, n_start, n_end, typeQuadra)
plotDelta2MNK(a, b, n, N_start, N_end, typeQuadra)
plot3DeltaMNK(a, b, n_start, n_end , N_start, N_end, typeMNK, typeQuadra)
deltaMNK(Y1, Y2)где a и b - границы отрезка, n - степень полинома, typeMNK – номер способа, которым рассчитываются коэффициенты аппроксимирующего полинома (1 - непрерывный, 2 - дискретный, 3 - полудискретный), typeQuadra – номер квадратурной формулы, применяемой для приближенного вычисления интегралов в правой части уравнений (1 – формула трапеций, 2 – формула Симпсона), n_start и n_end – начальное и конечное значение диапазона перебора степени аппрокисмирующего полинома, N_start, N_end – начальное и конечное значение диапазона перебора числа узловых точек.
При построении графиков равноотстоящие узлы интерполяции дополняются промежуточными точками, поскольку узловых точек недостаточно для демонстрации расхождения графиков (в узловых точках они совпадают).
В результате работы модулей сформируются новые окошки с совмещенными графиками такого вида (пример):
UPD: Решение на Matlab